《直线和圆的方程》平行性测试卷（理科）
注意事项： 1. 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
（1）如果 AC ? 0且 BC ? 0 ，那么直线 Ax ? By ? C ? 0 不通过
（A）第一象限 限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象
（2）苹果手机上的商标图案（如图所示）是在一个苹果图案中，以曲线段
AB 为分界线，裁去一部分图形制作而成的． 如果该分界线是一段半径为 R
A
的圆弧，且 A 、 B 两点间的距离为 2R ，那么分界线的长度应为
B
（A） ? R
（B） ? R
（C） ? R
（D）? R
6
3
2
（3）两平行直线 3x ? 4y ?12 ? 0 与 ax ? 8y ?11 ? 0 间的距离为
（A）7
（B） 7 2
（C） 13 5
（4） 方程 x2 ? y2 ? 2ax ? 2ay ? 0?a ? 0? 表示的圆
（D） 13 10
（A）关于轴对称
（C）关于直线 y ? x 对称
（B）关于 y 轴对称 （D）关于直线 y ? ?x 对称
（5）若方程 m2x2 ? ?m ? 2? y2 ? 2mx ? m ? 0 表示圆，则 m 的值
（A） m ? ?1
（B） m ? 2
（C） m ? 2 或 m ? ?1 （D） m ? 1或 m ? ?2
（6）若圆 x2 ? y2 ? 2x ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 2x ? 4y ? 4 ? 0 的交点为
A, B ，则线段 AB 的垂直平分线的方程是
（A） x ? y ?1 ? 0 （B） x ? 2y ?1 ? 0 （C） 2x ? y ?1 ? 0 （D） x ? y ?1 ? 0
（7）若函数 y ? f ? x? 在 x ? a 及 x ? b 之间的一段图象可以近似地看作直线，且 a ? c ? b ，
则
(A）
f
?c?
?
f
?a??
b?a c?a
?? f
?b? ?
f
?a???
(B)
f
?c?
?
f
?a??
c?a b?a
??
f
?b? ?
f
?a???
(C)
f
?c? ?
f
?b?
?
b c
? ?
a a
??
f
?b? ?
f
? a ???
(D)
f
?c?
?
f
?b? ?
c?a b?a
??
f
?b? ?
f
? a ???
（8）已知直线和夹角的平分线所在直线的方程为 y ? x ，如果： ax ? by ? c ? 0?ab ? 0? ，则
的方程是
(A) bx ? ay ? c ? 0 (B) ax ? by ? c ? 0 (C） bx ? ay ? c ? 0 (D) bx ? ay ? c ? 0
（9） 若实数 x, y 满足 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 ，则 y 的取值范围是
x
(A)
? ??
??,
?
4 3
? ??
? 0,＋? ?
(B)
? ??
??,
?
3 4
? ??
?0,＋? ?
(C)
????
4 3
,
0???
(D)
????
3 4
,
0???
（10）已知两圆相交于点 A(1,3) ，B(m,1) ，且两圆的圆心均在直线 2x ? y ? c ? 0上，则 m? c ?
(A)－1
(B)1
(C)2
(D)3
（11） 已知直线 x ? y ? a ? 0?a ? 0? 与圆 x2 ? y2 ? 4 交于不同的两点 A, B ，O 是坐标
原点，且有 OA ? OB ? AB ，那么的取值范围是
? ? (A) 2,+ ?
(B) ?2, ???
? (C) ??2, 2 2
? (D) ?? 2, 2 2
（12） 已知抛物线 C1 : x2 ? 4 y 的焦点为 F ，以 F 为圆心的圆 C2 交 C1 于 A, B 两点，
交 C1 的准线于 C, D 两点，若四边形 ABCD是矩形，则圆 C2 的方程为
(A) x2 ? ? y ?1?2 ? 3
(B)
x2
?
? ??
y
?
1 2
2
? ? ?
?
4
(C) x2 ? ? y ?1?2 ? 12
(D)
x2
?
? ??
y
?
1 2
2
? ? ?
? 16
第Ⅱ卷
二．填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分．
（13）直线 x cos? ? y ?1 ? 0 的倾斜角的范围是________．
（ 14 ） 若 圆 x 2 ? y 2 ? 4 与 圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的 公 共 弦 长 为 2 3 ， 则 a ? ________．
（15）在平面直角坐标平面内，与点 A?1, 2? 距离为 2 ，且与点 B?4,5? 距离为 2 2 的直线共
有 条．
（16）若曲线 C1:x2 ? y2 ? 2x ? 0 与曲线 C2 : y ? y ? mx ? m? ? 0 有四个不同的交点，则实数
m 的取值范围
．
三．解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知由 A??3,3?发出的光线射到轴上，与轴交于点 P?1,0?，经轴反射．
（Ⅰ）求反射后光线所在直线 m 的方程；
（Ⅱ）判断直线 m 与圆 C : ? x ? 3?2 ? ? y ? 2?2 ?1的交点个数．
18．（本小题满分 12 分）
已知直线 l : ?m ? 2? x ??1? m? y ??6 ? 4m? ? 0，圆 C : ? x ? 4?2 ? ? y ?1?2 ? 9 ．
（Ⅰ）求证：直线恒过定点；
（Ⅱ）求证：直线与圆 C 恒有两个交点．
19．（本小题满分 12 分）
已知直线 l : x ? y ? a ? 0 ， M (?2, 0), N(?1, 0) ，动点 Q 满足 | QM | ? 2 ，动点 Q 的轨 | QN |
迹为曲线 C ． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）若直线与曲线 C 交于不同的两点 A, B ，且满足 OA?OB ? 0 （其中 O 为坐标原点），
求的值．
20．（本小题满分 12 分）
已知圆 M 过点 A(? 3, 0) 、 B( 3, 0) 、 C(0, ?3) ，直线过原点，且与圆 M 交于 E, F 两
点．
（Ⅰ）求圆 M 的方程； （Ⅱ）若| EF |? 15 ，求直线方程．
21．（本小题满分 12 分） 已知圆 C : x2 ? ( y ? 4)2 ?1 ，点 P 直线 l : 2x ? y ? 0 上，过点 P 作圆 C 的切线 PA, PB ，切 点为 A, B ． （Ⅰ）若 ?APB ? 60 ，求点 P 坐标；
（Ⅱ）求 PA 的最小值及对应的点 P 坐标．
22．（本小题满分 12 分）
设平面直角坐标系 xoy 中，曲线 G : y ? x2 ? a x ? a2 ? x ? R? ．
22 （Ⅰ）若 a ? 0 ，曲线 G 的图象与两坐标轴有三个交点，求经过这三个交点的圆 C 的一．般．
方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求圆心 C 所在曲线的轨迹方程；
（Ⅲ）若 a ? 0 ，动圆圆心 M 在曲线 G 上运动，且动圆 M 过 A?0,1? ，设 EF 是动圆 M 在
轴上截得的弦，当圆心 M 运动时弦长 EF 是否为定值?请说明理由．
《直线和圆的方程》平行性测试卷（理科）
参考答案
一．选择题
1．C．【解析】直线可化为 y ? ? A x ? C ，由条件可知 A, B 同号，则 C ? 0 ， A ? 0 ，故直线
BB
B
B
过第三象限．
2．C．【解析】可知弦 AB 所对圆心角为 ? ，则 AB ? ? R ．
2
2
3．B．【解析】由平行可得 a ? 6 ，又 3x ? 4 y ?12 ? 0 即 6x ? 8y ? 24 ? 0 ，故两平行直线距离
为d ? 7 ． 2
4．C．【解析】圆心 ??a, ?a? 在直线 y ? x 上，故选 C．
5．A．【解析】若该方程表示圆，则 m2 ? m ? 2 ，解得 m ? 2 或 m ? ?1，经检验当 m ? 2 时，
方程为 2x2 ? 2 y2 ? 2x ?1 ? 0 ，不表示圆，舍去．
6．D．【解析】两圆即为 ? x ?1?2 ? y2 ? 1， ? x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 9 ，圆心 C1 ?1,0? , C2 ??1, 2? ，
则直线 C1C2 为线段 AB 的垂直平分线，即为 x ? y ?1 ? 0 ．
7．B．【解析】斜率 k ? f ?b? ? f ?a ? ，直线近似为 f ? x? ? f ?a? ? f ?b? ? f ?a? ? x ? a? ，把
b?a
b?a
?c,
f
?c ?? 代入解得
f
?c?
?
f
?a??
c?a b?a
??
f
?b? ?
f
?a??? ．
8．A．【解析】? x, y? 关于直线 y ? x 的对称点为 ? y, x? ，代入 ax ? by ? c ? 0 得 bx ? ay ? c ? 0 ．
9．C．【解析】 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 即 ? x ? 2?2 ? ? y ?1?2 ?1，圆心 C ??2,1? ，半径为 1．
y 表示圆上的点与原点之间的斜率，设 y ? k ，即 kx ?y ? 0 ，则圆心 C ??2,1? 到 kx ? y ? 0 的
x
x
距离 d ? 2k ?1 ? 1，解得 ? 4 ? k ? 0 ．
1? k2
3
10．B．【解析】 kAB
?
2 1? m
?
?
1 2
，解得 m
?
5 ，则
AB
中点 ?3, 2?在 2x
?
y
?
c
?
0 上，解得
c ? ?4 ，故 m ? c ?1．
11．C．【解析】设 AB 的中点 C ，则 OA ? OB ? 2OC ，则 OA ? OB ? AB 即为
OC ? 1 AB ． 2
若 OC ? 1 AB ，则 OA ?OB ，此时 OC ? 2 r ? 2 ，此时 a ? 2 ，当 x ? y ?a ? 0 与
2
2
圆有两个不同交点时有 a ? 2 2 ．综上， 2 ? a ? 2 2 ．
12．D．【解析】由抛物线的定义与矩形性质可知圆心坐标为
F ?0,1?，而 FB ? FD ? AD ?r ， F 到准线的距离为 1 r ，从
2 而 1 r ? 2 ，∴ r ? 4 ，故选 D．
2
二．填空题
13．
???0,
? 4
? ??
? 3? ?? 4
,?
? ??
．【解析】
k
?
? cos?
???1,1?
，所以倾斜角为
???0,
? 4
? ??
? 3? ?? 4
,?
? ??
．
14．1．【解析】由两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y ? 1 ，则圆心 ?0, 0? 到直
a
? ? 线 y ? 1 的距离 d ? 1 ? 4 ?
2
3 ? 1，解得 a ?1．
a
a
15．3．【解析】与点 A?1, 2? 距离为 2 的轨迹为 ? x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 2 ，与点 B?4,5? 距离为
2 2 的轨迹为 ? x ? 4?2 ? ? y ? 5?2 ? 8 ，又可判断两圆外切，故满足条件的直线恰为两圆的
2 条外公切线和 1 条内公切线，即满足条件的直线共有 3 条．
16 ．
? ??? ?
3 3
,
0
? ???
? ??? 0,
3? 3 ???
．【 解 析 】 曲 线
C2
:
?y
?y
m? x? ?m0 即 为 y ? 0 或
y ? mx ? m ? 0 ．可知直线 y ? 0与曲线 C1 必有 2 个交点，则直线 y ? mx ? m ? 0 与曲线 C1
也有 2 个交点，可解得 ? 3 ? m ? 3 ，当 m ? 0时，直线 y ? mx ? m ? 0 与直线 y ? 0重
3
3
? 合，不满足条件，故 m ? ??? ?
3 3
,
0
? ???
? ??? 0,
3 3
? ???
．
三．解答题
17．解：（Ⅰ）根据光的反射原理，则 A??3,3?关于轴的对称点 B??3, ?3?必在反射
光线上，
………2 分
则反射后光线所在直线 m 即为直线 BP : y ? 0 ? x ?1 ，……… 4 分 ?3 ? 0 ?3 ?1
整理得 3x ? 4y ? 3 ? 0 ．………5 分
（Ⅱ）圆心 C ?3, 2?到直线 m ： 3x ? 4y ? 3 ? 0 的距离 d ? 2 ? 1，………8 分
5 则直线 m 与圆 C 相交，从而直线 m 与圆 C 的交点个数为 2．………10 分
18．解：（Ⅰ）直线整理得 (x ? y ? 4)m ? 2x ? y ? 6 ? 0 ．……… 2 分
? ? 由
x ? y ? 4 ? 0, 2x ? y ? 6 ? 0, 解得
x y
? ?
2, ?2.
………4
分
又 ?m ? 2??2 ??1? m????2? ??6 ? 4m? ? 0 成立，……… 6 分
所以直线恒过定点 Q(2, ?2) ．……… 7 分
（Ⅱ）因为 ?2 ? 4?2 ? ??2 ?1?2 ? 5 ? 9 ，所以 Q(2,?2) 在圆 C 内，……… 10 分
所以直线与圆 C 恒有两个交点．……… 12 分
19． 解：（Ⅰ）设点 Q(x, y) ，依题意知 | QM | ?
(x ? 2)2 ? y2 ?
2
| QN | (x ?1)2 ? y2
……3 分
整理得 x2 ? y2 ? 2 ， ∴曲线 C 的方程为 x2 ? y2 ? 2 ． …… 6 分
（Ⅱ）若满足 OA?OB ? 0 ，则 OA ? OB ，即 ?AOB 为等腰直角三角形，
则圆心 O 到直线 l : x ? y ? a ? 0 的距离 d ? 2 r ? 1 ，……… 9 分 2
a 即 d ? ? 1 ，解得 a ? ? 2 ．……… 12 分
2 20．解：（Ⅰ）设圆 M 的方程为 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ，……… 1 分
?(? 3)2 ? (? 3)D ? F ? 0,
则 ???( 3)2 ? 3D ? F ? 0,
………2 分
???(?3)2 ? (?3)E ? F ? 0.
解得： D ? 0, E ? 2, F ? ?3，……… 4 分
所以圆 M 的方程为： x2 ? y2 ? 2 y ? 3 ? 0 ．………5 分
（Ⅱ）由过原点且| AB |? 15 ? 2r ，可知直线的斜率必存在． ………7 分 故可设直线的方程为 y ? kx(k ? R) ，………8 分
| EF |? 15 ， r ? 2 ，
?圆心 M 到直线的距离 d ? 22 ? ( 15 )2 ? 1 ，………10 分 22
? 1 ? k ? 0 ? (?1) ，解得： k ? ? 3 ， 2 k 2 ? (?1)2
?直线的方程为 y ? ? 3x ．………12 分
21．解：（Ⅰ）由条件可知 C ?0, 4? ，连接 PC ，若 ?APB ? 60 ，则 ?APC 为直角三角形且
?APC ? 30 ，
则 PC ? 2 AC ? 2 ，………………3 分
设 P(a, 2a) ，则 PC ? a2 ? (2a ? 4)2 ? 2 解得 a ? 2 或 a ? 6 ， 5
所以 P(2, 4) 或 P(6 , 12) ．………………6 分 55
(
Ⅱ
)
设
P(a, 2a)
，
则
PA 2
?
PC
2
? r2
? a2
? (2a ? 4)2
?1 ? 5a2
?16a
?
15
?
5
? ??
a
?
8 5
?2 ??
? 11 ， 5
所以当
P
? ??
8 5
, 16 5
? ??
时，
PA
取得最小值，最小值为
55 ．………………12 分 5
? ? 22．解：（Ⅰ）令＝0，得抛物线与 y 轴交点是 0,?a2 ；………1 分
令 y ? 0，则 x2 ? a x ? a2 ? 0 ，所以 x2 ? ax ? 2a2 ? 0， 22
得抛物线与轴交点是 ??2a,0? ,?a,0? ．………3 分
设所求圆 C 的一般方程为 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
?a4 ? Ea2 ? F ? 0, ?D ? a
则有
? ?a
2
?
Da
?
F
?
0,
? ??E ? a2 ? 2 ．
??4a2 ? 2Da ? F ? 0, ??F ? ?2a2
? ? 所以圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? ax ? a2 ? 2 y ? 2a2 ? 0 ．………5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆心
C
? ? ?
?
a 2
,
2
? a2 2
? ? ?
，………6
分
设圆心
C
?
x,
y?
，则有
? ??
x
?
? ??
y
? ?
? 2
a, 2 ? a2 2
,
消去得到
y
?
1?
2x2
又 a ? 0,? x ? 0 ，所以圆心 C 所在曲线的轨迹方程为 y ?1? 2x2 ? x ? 0? ．………8 分
（Ⅲ）| EF | 为定值 2．………9 分
证明如下：若 a
? 0 ，曲线 G :
y
?
x2 2
，设 M
? ? ?
x0
,
x02 2
? ?
，………10
分
?
则动圆半径 r ? MA ?
? x0
? 0?2
? ??
?
x02 2
2
? ?1?
?
?
x02 ?1 4
则 EF ? 2
r2
? ??
?
x02 2
?2 ? ?
?
2
x02 ?1? x02 ? 2 ．………12 分
4
4