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福建省数学基地校2016年高三专项练习:《直线和圆的方程》平行性测试卷(理) 全国通用 Word版含解析

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《直线和圆的方程》平行性测试卷(理科)
注意事项: 1. 本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
(1)如果 AC ? 0且 BC ? 0 ,那么直线 Ax ? By ? C ? 0 不通过

(A)第一象限 限

(B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象

(2)苹果手机上的商标图案(如图所示)是在一个苹果图案中,以曲线段

AB 为分界线,裁去一部分图形制作而成的. 如果该分界线是一段半径为 R
A

的圆弧,且 A 、 B 两点间的距离为 2R ,那么分界线的长度应为

B

(A) ? R

(B) ? R

(C) ? R

(D)? R

6

3

2

(3)两平行直线 3x ? 4y ?12 ? 0 与 ax ? 8y ?11 ? 0 间的距离为

(A)7

(B) 7 2

(C) 13 5

(4) 方程 x2 ? y2 ? 2ax ? 2ay ? 0?a ? 0? 表示的圆

(D) 13 10

(A)关于轴对称
(C)关于直线 y ? x 对称

(B)关于 y 轴对称 (D)关于直线 y ? ?x 对称

(5)若方程 m2x2 ? ?m ? 2? y2 ? 2mx ? m ? 0 表示圆,则 m 的值

(A) m ? ?1

(B) m ? 2

(C) m ? 2 或 m ? ?1 (D) m ? 1或 m ? ?2

(6)若圆 x2 ? y2 ? 2x ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 2x ? 4y ? 4 ? 0 的交点为

A, B ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是

(A) x ? y ?1 ? 0 (B) x ? 2y ?1 ? 0 (C) 2x ? y ?1 ? 0 (D) x ? y ?1 ? 0

(7)若函数 y ? f ? x? 在 x ? a 及 x ? b 之间的一段图象可以近似地看作直线,且 a ? c ? b ,


(A)

f

?c?

?

f

?a??

b?a c?a

?? f

?b? ?

f

?a???

(B)

f

?c?

?

f

?a??

c?a b?a

??

f

?b? ?

f

?a???

(C)

f

?c? ?

f

?b?

?

b c

? ?

a a

??

f

?b? ?

f

? a ???

(D)

f

?c?

?

f

?b? ?

c?a b?a

??

f

?b? ?

f

? a ???

(8)已知直线和夹角的平分线所在直线的方程为 y ? x ,如果: ax ? by ? c ? 0?ab ? 0? ,则

的方程是

(A) bx ? ay ? c ? 0 (B) ax ? by ? c ? 0 (C) bx ? ay ? c ? 0 (D) bx ? ay ? c ? 0

(9) 若实数 x, y 满足 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 y 的取值范围是
x

(A)

? ??

??,

?

4 3

? ??

? 0,+? ?

(B)

? ??

??,

?

3 4

? ??

?0,+? ?

(C)

????

4 3

,

0???

(D)

????

3 4

,

0???

(10)已知两圆相交于点 A(1,3) ,B(m,1) ,且两圆的圆心均在直线 2x ? y ? c ? 0上,则 m? c ?

(A)-1

(B)1

(C)2

(D)3

(11) 已知直线 x ? y ? a ? 0?a ? 0? 与圆 x2 ? y2 ? 4 交于不同的两点 A, B ,O 是坐标

原点,且有 OA ? OB ? AB ,那么的取值范围是

? ? (A) 2,+ ?

(B) ?2, ???

? (C) ??2, 2 2

? (D) ?? 2, 2 2

(12) 已知抛物线 C1 : x2 ? 4 y 的焦点为 F ,以 F 为圆心的圆 C2 交 C1 于 A, B 两点,

交 C1 的准线于 C, D 两点,若四边形 ABCD是矩形,则圆 C2 的方程为

(A) x2 ? ? y ?1?2 ? 3

(B)

x2

?

? ??

y

?

1 2

2
? ? ?

?

4

(C) x2 ? ? y ?1?2 ? 12

(D)

x2

?

? ??

y

?

1 2

2
? ? ?

? 16

第Ⅱ卷

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
(13)直线 x cos? ? y ?1 ? 0 的倾斜角的范围是________.

( 14 ) 若 圆 x 2 ? y 2 ? 4 与 圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的 公 共 弦 长 为 2 3 , 则 a ? ________.
(15)在平面直角坐标平面内,与点 A?1, 2? 距离为 2 ,且与点 B?4,5? 距离为 2 2 的直线共
有 条.
(16)若曲线 C1:x2 ? y2 ? 2x ? 0 与曲线 C2 : y ? y ? mx ? m? ? 0 有四个不同的交点,则实数

m 的取值范围



三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)

已知由 A??3,3?发出的光线射到轴上,与轴交于点 P?1,0?,经轴反射.

(Ⅰ)求反射后光线所在直线 m 的方程;

(Ⅱ)判断直线 m 与圆 C : ? x ? 3?2 ? ? y ? 2?2 ?1的交点个数.

18.(本小题满分 12 分)
已知直线 l : ?m ? 2? x ??1? m? y ??6 ? 4m? ? 0,圆 C : ? x ? 4?2 ? ? y ?1?2 ? 9 .
(Ⅰ)求证:直线恒过定点;
(Ⅱ)求证:直线与圆 C 恒有两个交点.
19.(本小题满分 12 分)
已知直线 l : x ? y ? a ? 0 , M (?2, 0), N(?1, 0) ,动点 Q 满足 | QM | ? 2 ,动点 Q 的轨 | QN |
迹为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若直线与曲线 C 交于不同的两点 A, B ,且满足 OA?OB ? 0 (其中 O 为坐标原点),
求的值.
20.(本小题满分 12 分)

已知圆 M 过点 A(? 3, 0) 、 B( 3, 0) 、 C(0, ?3) ,直线过原点,且与圆 M 交于 E, F 两
点.
(Ⅰ)求圆 M 的方程; (Ⅱ)若| EF |? 15 ,求直线方程.
21.(本小题满分 12 分) 已知圆 C : x2 ? ( y ? 4)2 ?1 ,点 P 直线 l : 2x ? y ? 0 上,过点 P 作圆 C 的切线 PA, PB ,切 点为 A, B . (Ⅰ)若 ?APB ? 60 ,求点 P 坐标;
(Ⅱ)求 PA 的最小值及对应的点 P 坐标.
22.(本小题满分 12 分)
设平面直角坐标系 xoy 中,曲线 G : y ? x2 ? a x ? a2 ? x ? R? .
22 (Ⅰ)若 a ? 0 ,曲线 G 的图象与两坐标轴有三个交点,求经过这三个交点的圆 C 的一.般.
方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求圆心 C 所在曲线的轨迹方程;
(Ⅲ)若 a ? 0 ,动圆圆心 M 在曲线 G 上运动,且动圆 M 过 A?0,1? ,设 EF 是动圆 M 在

轴上截得的弦,当圆心 M 运动时弦长 EF 是否为定值?请说明理由.

《直线和圆的方程》平行性测试卷(理科)

参考答案

一.选择题

1.C.【解析】直线可化为 y ? ? A x ? C ,由条件可知 A, B 同号,则 C ? 0 , A ? 0 ,故直线

BB

B

B

过第三象限.

2.C.【解析】可知弦 AB 所对圆心角为 ? ,则 AB ? ? R .

2

2

3.B.【解析】由平行可得 a ? 6 ,又 3x ? 4 y ?12 ? 0 即 6x ? 8y ? 24 ? 0 ,故两平行直线距离

为d ? 7 . 2
4.C.【解析】圆心 ??a, ?a? 在直线 y ? x 上,故选 C.

5.A.【解析】若该方程表示圆,则 m2 ? m ? 2 ,解得 m ? 2 或 m ? ?1,经检验当 m ? 2 时,

方程为 2x2 ? 2 y2 ? 2x ?1 ? 0 ,不表示圆,舍去.

6.D.【解析】两圆即为 ? x ?1?2 ? y2 ? 1, ? x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 9 ,圆心 C1 ?1,0? , C2 ??1, 2? ,
则直线 C1C2 为线段 AB 的垂直平分线,即为 x ? y ?1 ? 0 .

7.B.【解析】斜率 k ? f ?b? ? f ?a ? ,直线近似为 f ? x? ? f ?a? ? f ?b? ? f ?a? ? x ? a? ,把

b?a

b?a

?c,

f

?c ?? 代入解得

f

?c?

?

f

?a??

c?a b?a

??

f

?b? ?

f

?a??? .

8.A.【解析】? x, y? 关于直线 y ? x 的对称点为 ? y, x? ,代入 ax ? by ? c ? 0 得 bx ? ay ? c ? 0 .

9.C.【解析】 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 即 ? x ? 2?2 ? ? y ?1?2 ?1,圆心 C ??2,1? ,半径为 1.

y 表示圆上的点与原点之间的斜率,设 y ? k ,即 kx ?y ? 0 ,则圆心 C ??2,1? 到 kx ? y ? 0 的

x

x

距离 d ? 2k ?1 ? 1,解得 ? 4 ? k ? 0 .

1? k2

3

10.B.【解析】 kAB

?

2 1? m

?

?

1 2

,解得 m

?

5 ,则

AB

中点 ?3, 2?在 2x

?

y

?

c

?

0 上,解得

c ? ?4 ,故 m ? c ?1.

11.C.【解析】设 AB 的中点 C ,则 OA ? OB ? 2OC ,则 OA ? OB ? AB 即为

OC ? 1 AB . 2

若 OC ? 1 AB ,则 OA ?OB ,此时 OC ? 2 r ? 2 ,此时 a ? 2 ,当 x ? y ?a ? 0 与

2

2

圆有两个不同交点时有 a ? 2 2 .综上, 2 ? a ? 2 2 .

12.D.【解析】由抛物线的定义与矩形性质可知圆心坐标为

F ?0,1?,而 FB ? FD ? AD ?r , F 到准线的距离为 1 r ,从
2 而 1 r ? 2 ,∴ r ? 4 ,故选 D.
2
二.填空题

13.

???0,

? 4

? ??

? 3? ?? 4

,?

? ??

.【解析】

k

?

? cos?

???1,1?

,所以倾斜角为

???0,

? 4

? ??

? 3? ?? 4

,?

? ??



14.1.【解析】由两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y ? 1 ,则圆心 ?0, 0? 到直
a

? ? 线 y ? 1 的距离 d ? 1 ? 4 ?

2
3 ? 1,解得 a ?1.

a

a

15.3.【解析】与点 A?1, 2? 距离为 2 的轨迹为 ? x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 2 ,与点 B?4,5? 距离为

2 2 的轨迹为 ? x ? 4?2 ? ? y ? 5?2 ? 8 ,又可判断两圆外切,故满足条件的直线恰为两圆的

2 条外公切线和 1 条内公切线,即满足条件的直线共有 3 条.

16 .

? ??? ?

3 3

,

0

? ???

? ??? 0,

3? 3 ???

.【 解 析 】 曲 线

C2

:

?y

?y

m? x? ?m0 即 为 y ? 0 或

y ? mx ? m ? 0 .可知直线 y ? 0与曲线 C1 必有 2 个交点,则直线 y ? mx ? m ? 0 与曲线 C1

也有 2 个交点,可解得 ? 3 ? m ? 3 ,当 m ? 0时,直线 y ? mx ? m ? 0 与直线 y ? 0重

3

3

? 合,不满足条件,故 m ? ??? ?

3 3

,

0

? ???

? ??? 0,

3 3

? ???



三.解答题

17.解:(Ⅰ)根据光的反射原理,则 A??3,3?关于轴的对称点 B??3, ?3?必在反射

光线上,

………2 分

则反射后光线所在直线 m 即为直线 BP : y ? 0 ? x ?1 ,……… 4 分 ?3 ? 0 ?3 ?1
整理得 3x ? 4y ? 3 ? 0 .………5 分

(Ⅱ)圆心 C ?3, 2?到直线 m : 3x ? 4y ? 3 ? 0 的距离 d ? 2 ? 1,………8 分
5 则直线 m 与圆 C 相交,从而直线 m 与圆 C 的交点个数为 2.………10 分

18.解:(Ⅰ)直线整理得 (x ? y ? 4)m ? 2x ? y ? 6 ? 0 .……… 2 分

? ? 由

x ? y ? 4 ? 0, 2x ? y ? 6 ? 0, 解得

x y

? ?

2, ?2.

………4



又 ?m ? 2??2 ??1? m????2? ??6 ? 4m? ? 0 成立,……… 6 分

所以直线恒过定点 Q(2, ?2) .……… 7 分

(Ⅱ)因为 ?2 ? 4?2 ? ??2 ?1?2 ? 5 ? 9 ,所以 Q(2,?2) 在圆 C 内,……… 10 分

所以直线与圆 C 恒有两个交点.……… 12 分

19. 解:(Ⅰ)设点 Q(x, y) ,依题意知 | QM | ?

(x ? 2)2 ? y2 ?

2

| QN | (x ?1)2 ? y2

……3 分

整理得 x2 ? y2 ? 2 , ∴曲线 C 的方程为 x2 ? y2 ? 2 . …… 6 分

(Ⅱ)若满足 OA?OB ? 0 ,则 OA ? OB ,即 ?AOB 为等腰直角三角形,

则圆心 O 到直线 l : x ? y ? a ? 0 的距离 d ? 2 r ? 1 ,……… 9 分 2
a 即 d ? ? 1 ,解得 a ? ? 2 .……… 12 分
2 20.解:(Ⅰ)设圆 M 的方程为 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,……… 1 分

?(? 3)2 ? (? 3)D ? F ? 0,

则 ???( 3)2 ? 3D ? F ? 0,

………2 分

???(?3)2 ? (?3)E ? F ? 0.

解得: D ? 0, E ? 2, F ? ?3,……… 4 分

所以圆 M 的方程为: x2 ? y2 ? 2 y ? 3 ? 0 .………5 分

(Ⅱ)由过原点且| AB |? 15 ? 2r ,可知直线的斜率必存在. ………7 分 故可设直线的方程为 y ? kx(k ? R) ,………8 分

| EF |? 15 , r ? 2 ,

?圆心 M 到直线的距离 d ? 22 ? ( 15 )2 ? 1 ,………10 分 22
? 1 ? k ? 0 ? (?1) ,解得: k ? ? 3 , 2 k 2 ? (?1)2
?直线的方程为 y ? ? 3x .………12 分
21.解:(Ⅰ)由条件可知 C ?0, 4? ,连接 PC ,若 ?APB ? 60 ,则 ?APC 为直角三角形且

?APC ? 30 ,

则 PC ? 2 AC ? 2 ,………………3 分

设 P(a, 2a) ,则 PC ? a2 ? (2a ? 4)2 ? 2 解得 a ? 2 或 a ? 6 , 5

所以 P(2, 4) 或 P(6 , 12) .………………6 分 55

(



)



P(a, 2a)





PA 2

?

PC

2

? r2

? a2

? (2a ? 4)2

?1 ? 5a2

?16a

?

15

?

5

? ??

a

?

8 5

?2 ??

? 11 , 5

所以当

P

? ??

8 5

, 16 5

? ??

时,

PA

取得最小值,最小值为

55 .………………12 分 5

? ? 22.解:(Ⅰ)令=0,得抛物线与 y 轴交点是 0,?a2 ;………1 分

令 y ? 0,则 x2 ? a x ? a2 ? 0 ,所以 x2 ? ax ? 2a2 ? 0, 22
得抛物线与轴交点是 ??2a,0? ,?a,0? .………3 分

设所求圆 C 的一般方程为 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

?a4 ? Ea2 ? F ? 0, ?D ? a

则有

? ?a

2

?

Da

?

F

?

0,

? ??E ? a2 ? 2 .

??4a2 ? 2Da ? F ? 0, ??F ? ?2a2

? ? 所以圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? ax ? a2 ? 2 y ? 2a2 ? 0 .………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知圆心

C

? ? ?

?

a 2

,

2

? a2 2

? ? ?

,………6



设圆心

C

?

x,

y?

,则有

? ??

x

?

? ??

y

? ?

? 2

a, 2 ? a2 2

,

消去得到

y

?

1?

2x2

又 a ? 0,? x ? 0 ,所以圆心 C 所在曲线的轨迹方程为 y ?1? 2x2 ? x ? 0? .………8 分

(Ⅲ)| EF | 为定值 2.………9 分

证明如下:若 a

? 0 ,曲线 G :

y

?

x2 2

,设 M

? ? ?

x0

,

x02 2

? ?

,………10



?

则动圆半径 r ? MA ?

? x0

? 0?2

? ??
?

x02 2

2
? ?1?
?

?

x02 ?1 4

则 EF ? 2

r2

? ??
?

x02 2

?2 ? ?

?

2

x02 ?1? x02 ? 2 .………12 分

4

4



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