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2018-2019学年高中数学 第四章 导数应用 4.1.2 函数的极值作业1 北师大版选修1-1

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4.1.2 函数的极值
[基础达标] 1.如图是函数 y=f(x)的导函数的图像,则正确的判断是( )

①f(x)在(-3,1)上是增函数;

②x=-1 是 f(x)的极小值点;

③f(x)在(2,4)上是减函数,在(-1,2)上是增函数;

④x=2 是 f(x)的极小值点.

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

解析:选 B.由 f′(x)的图像知 f(x)在[-3,-1]和[2,4]上递减,在[-1,2]上递增,

故①不正确,③正确;x=-1 是 f(x)的极小值点,x=2 是 f(x)的极大值点.

2.若函数 f(x)=xx2++1a在 x=1 处取极值,则 a=(

)

A.1

B.3

C.2

D.4

解析:选 B.f′(x)=x(2+x+2x1-)a2,由题意知 f′(1)=3-22 a=0,∴a=3.

3.设函数 f(x)=2x+ln x,则(

)

A.x=12为 f(x)的极大值点

B.x=12为 f(x)的极小值点

C.x=2 为 f(x)的极大值点

D.x=2 为 f(x)的极小值点

解析:选 D.f′(x)=x-x2 2,由 f′(x)=0 得 x=2,又当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,当 x

∈(2,+∞)时,f′(x)>0,∴x=2 是 f(x)的极小值点.

4.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则( )

A.a<-1

B.a>-1

C.a>-1e

D.a<-1e

解析:选 A.由题意 y′=ex+a=0 即 a=-ex 在(0,+∞)上有解, 令 f(x)=-ex(x>0),

则 f(x)∈(-∞,-1). ∴a=-ex<-1.

5.函数 f(x)=13x3-2ax2+3a2x 在(0,1)内有极小值,则实数 a 的取值范围是(

)

A.(0,+∞)

B.(-∞,3)

1 C.(0,3)

D.???0,32???

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解析:选 C.由 f(x)=13x3-2ax2+3a2x,得 f′(x)=x2-4ax+3a2,显然 a≠0, 由于 f′(0)=3a2>0,Δ =16a2-12a2=4a2>0, 依题意,得 0<3a<1,f′(1)>0,即 0<a<13,且 1-4a+3a2>0,解得 0<a<13.即实数 a 的
1 取值范围是(0,3).
6.若函数 f(x)=x·2x 在 x0 处有极小值,则 x0 等于________. 解析:f′(x)=x·2x·ln 2+2x=2x(x·ln 2+1). 令 f′(x)=0,解得 x=-ln1 2. 答案:-ln1 2 7.已知函数 f(x)=ex-ax 在区间(0,1)上有极值,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意 f′(x)=ex-a=0 在(0,1)上有解,∴a=ex∈(1,e). 答案:(1,e) 8.函数 f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数 g(x)=f(x)-m 在 x∈[-2,5]上有 3 个零点, 则 m 的取值范围为________. 解析:f′(x)=3x2-6x-9,令 f′(x)=0 得 x=-1,x=3.易知???f(x)极大=f(-1),
??f(x)极小=f(3) 由题意知,g(x)在[-2,5]上与 x 轴有三个交点,
??g(-1)>0 g(3)<0
? ∴ g(-2)≤0,解得 1≤m<8,即 m 的取值范围为[1,8). ??g(5)≥0
答案:[1,8) 9.求函数 f(x)=12(x-5)2+6ln x 的极值. 解:∵f(x)=12(x-5)2+6ln x=12x2-5x+6ln x+225(x>0), ∴f′(x)=x-5+6x=(x-2)x(x-3). 令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3.当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,2), (3,+∞)上为增函数;当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数. 由此可知,f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)=92+6ln 2,在 x=3 处取得极小值 f(3)=2 +6ln 3. 10.已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)的极值. 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-ax. (1)当 a=2 时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-2x(x>0), 因而 f(1)=1,f′(1)=-1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0. (2)由 f′(x)=1-ax=x-x a,x>0 知:
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当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a.

又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,从而函数 f(x)在 x=a

处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值.

∴当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值.

[能力提升]

1.设函数 f(x)=x3-4x+a,0<a<2.若 f(x)的三个零点为 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则( )

A.x1>-1

B.x2>0

C.x2<0

D.x3>2

解析:选 B.由 f′(x)=3x2-4=0 得 x=± 2 .f′(x)=3x2-4<0? - 2 <x< 2 ;f′(x)

3

33

=3x2-4>0? x<-

2或 3

x>

2 ,所以 3

f(x)在???-

2 ,
3

23???上单调递减,在???-∞,-

23???,

??? 23,+∞???上单调递增.

所以 f(x)的极大值点为 x=- 2 ,极小值点为 x= 2 ,函数 y=f(x)的图像如图所示,

3

3

故 x1<- 23<-1,x2>0,

由于

f(

2 )<0,f(2)=a>0,故 3

x3<2.

2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值为 10,则 f(2)=________.

解析:f′(x)=3x2+2ax+b.∴?????31+ +2aa++bb+=a02=10,解得?????ab= =4-11或?????ab==-3 3.

当???a=-3时 f′(x)=3(x-1)2≥0,∴在 x=1 处不存在极值;当???a=4 时,f′(x)

??b=3

??b=-11

=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),∴当 x∈???-131,1???时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,

f′(x)>0,∴?????ab= =-4 11符合此题意,∴f(2)=8+16-22+16=18,故答案为 18.

答案:18

3.已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x.

(1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值;

(2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围.

解:由 f(x)=x2+xsin x+cos x,得 f′(x)=x(2+cos x).

(1)因为曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,所以 f′(a)=a(2+cos a)

=0,b=f(a).

解得 a=0,b=f(0)=1.

(2)令 f′(x)=0,得 x=0.

f(x)与 f′(x)的变化情况如下:

x

(-∞,0) 0 (0,+∞)

f′(x)



0



f(x)



1



所以函数 f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,f(0)=1

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是 f(x)的最小值. 当 b≤1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=b 最多只有一个交点; 当 b>1 时,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b, f(0)=1<b, 所以存在 x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b), 使得 f(x1)=f(x2)=b. 由于函数 f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当 b>1 时曲线 y=f(x)与直
线 y=b 有且仅有两个不同交点. 综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,那么 b 的取值范围是(1,
+∞). 4.若函数 f(x)=13x3+12ax2+2bx+c,当 x∈(0,1)时函数有极大值,当 x∈(1,2)时
函数有极小值,试求ba- -21的取值范围. 解:由已知得 f′(x)=x2+ax+2b,由于当 x∈(0,1)时函数有极大值,当 x∈(1,2)
时函数有极小值, 所以方程 f′(x)=0 的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内, 即函数 y=f′(x)的图像如图所示:
??f′(0)>0, 所以有?f′(1)<0,
??f′(2)>0,

??2b>0, 即?a+2b+1<0, 在*面直角坐标系中画出该不等式组所表示的*面区域,

??2a+2b+4>0, 其中 A(-3,1),B(-2,0),

C(-1,0),

设 P(a,b)为可行域内一点,D(1,2),

b-2 则a-1的几何意义为直线

PD

的斜率,

由图可知:kAD<kPD<kCD, 故14<ba- -21<1.

即ba--21的取值范围是(14,1).

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